利用翻譯算子，我們得到了作用于單項式上的微分算子形式的算術級數和階伯努利多項式的冪和。 由此得出，施加在冪和上的（d / dn-d / dz）具有含義，并且精確等于相同階數的伯努利多項式。 從這個新的屬性中，我們得到一個公式，該公式給出伯努利多項式的連續導數之和與n階相同的本原之和的冪和。 然后通過將兩個自變量z，n更改為Z = z（z-1），λ，其中λ設計了一階冪和，并證明對于等于0、1 / 2、1的自變量，奇數次的Bernoulli多項式消失了，我們容易地根據系數決定Z的λ中的多項式輕松地求出冪和的Faulhaber公式。發現這些系數是Z表示的整數上的奇次冪和的導數。通過這種方式，我們得出